Tutti i ciclisti sono sportivi: l’enigma di un tableau e la sua soluzione

 

Questo articolo è un’introduzione alla soluzione dei tableau.
Riporta un esercizio sui tableau che ho portato a termine per il corso di istituzioni di logica tenuto all’Università degli Studi di Milano.
I metodi di risoluzione dei tableau sono quelli proposti nella dispensa del corso , la trovi qui.

Il tableau in questo articolo verifica la validità di un sillogismo.
Per informazioni sul sillogismo (forme, modi, ecc) consulta la pagina che ho pubblicato  qui.

Il tableau da risolvere

Per questo primo tableau utilizziamo quindi il seguente sillogismo:

Tutti i ciclisti sono sportivi
Qualche uomo è un ciclista
Qualche uomo è sportivo

 

Si tratta di un sillogismo di prima figura, modo Darii.
Prima figura significa che è nella forma
Termine medio M (ciclista)-predicato P (sportivo)
Soggetto S (uomo) – Termine medio M (Sportivo)
Soggetto S (uomo) – Predicato P (Sportivo)

Darii significa che il sillogismo è nella forma AII:Universale affermativa A-Particolare affermativa I- Particolare affermativa I . (vedi il quadrato delle opposizioni che trovi qui)

La formula di questo sillogismo si scrive in questo modo:

\((\forall _x(M_{(x)} \rightarrow P_{(x)}) \wedge \exists  _{(x)} (S_{(x)} \wedge M_{(x)})) \rightarrow \exists _{(x)}(S_{(x)} \wedge P_{(x)})\)

Dove:

  • \(\forall\) è il quantificatore universale e significa “per ogni”
  • \(\exists\) è il quantificatore esistenziale che significa “esiste almeno un”
  • \( \rightarrow\) è il simbolo di implicazione, significa “se…allora”
  • \(\wedge\) è il simbolo di congiunzione, significa”e” (AND logico).
  • \(\vee\) è il simbolo di disgiunzione, significa “oppure” (OR logico),
  • \(\neg\) è il simbolo di negazione significa “non” (NOT logico).

Per le regole di inferenza utilizzeremo anche il simbolo di trasformazione \(\leadsto\). Significa “si trasforma in”.

 

Come si risolve il tableau

Il primo passo

Per la risoluzione della formula \(\Gamma\) ci si basa sul principio di non contraddizione e sul principio del terzo escluso.
Come primo passo si nega quello che viene affermato ( \(\neg\Gamma\)) e si procede applicando le regole finché si incontrano contraddizioni.
Se come primo passo si afferma che la formula è falsa e in seguito si dimostra che la sua falsità implica una contraddizione, secondo i principi aristotelici di non contraddizione e del terzo escluso il tableau risulterà vero.
Detto in termini più semplici: la formula può essere vera o falsa. Se non è falsa, allora è vera.

Le regole di inferenza

Per risolvere i tableau occorre applicare con attenzione una serie di regole.
Le regole per la risoluzione dei tableau proposte nel corso sono le seguenti:

1. Regole di riscrittura

Le regole di riscrittura sono le prime che si applicano quando si risolve un tableau, subito dopo aver negato il tableau con \(\neg \).

Si tratta delle seguenti sette regole:

  1. $$\neg(C\rightarrow D) \leadsto C \wedge \neg D $$
  2. $$ C \rightarrow D \leadsto \neg C \vee D $$
  3. $$ \neg \neg C \leadsto C $$
  4. $$ \neg ( C \vee D ) \leadsto \neg C \wedge \neg D $$
  5. $$ \neg (C \wedge D ) \leadsto \neg C \vee \neg D $$
  6. $$ \neg \forall _x C \leadsto \exists _x \neg C $$
  7. $$ \neg \exists _x C \leadsto \forall _x \neg C $$

Le regole di riscrittura si applicano per prime e si procede finché non ci si trova nella situazione detta FNN (Forma Normale Negativa), cioè quando nel tableau:

  • Non compaiono simboli \(\neg\) davanti a quantificatori
  • Non compaiono simboli \(\neg\) davanti a parentesi
  • Non compaiono simboli di implicazione \(\rightarrow\)

 

2. Regole di espansione

Una volta che, dopo aver applicato le regole di riscrittura, si giunge allo stato FNN, si procede applicando le regole di epansione.

Le regole di espansione riguardano gli operatori \(\wedge \) , \(\vee \) e i quantificatori \(\exists \), \(\forall\) e vanno applicate in questo ordine:

\(\wedge , \vee, \exists,   \forall \)

  1. Regola per la congiunzione \( \wedge \), dove \(\Gamma \) è la formula $$\frac {\Gamma , B \wedge C }{\Gamma , B, C } $$
  2. Regola per la disgiunzione \(\vee \)$$\frac {\Gamma , B \vee C }{\Gamma , B || \Gamma C } $$
    Quando si applica questa regola la formula viene divisa in due rami \(R _t \) e \(R _f \)
  3. Regola per il quantificatore  esistenziale \(\exists \)$$\frac {\Gamma ,  \exists _x B }{\Gamma , B  _{( c/x)}  } $$
    NB: x si trasforma in una costante fino a quel momento mai utilizzata nel tableau. Non trasformare x in costanti già utilizzate.
  4. Regola per il quantificatore universale \(\forall \)
    $$\frac {\Gamma ,  \forall _x B }{\Gamma , B  _{( t/x)} , \forall _x B  } $$
    NB: x si trasforma in una costante già utilizzata nel tableau. Non creare nuove costanti.

La risoluzione del tableau

Ora che abbiamo fissato le regole possiamo iniziare a verificare la formula, che chiameremo \(\Gamma \).

Trasformazione tramite regole di riscrittura finché non si giunge alla forma normale negativa (FNN)

Per prima cosa  neghiamo la formula ( \(\neg \Gamma \)):

\( \neg ((\forall _{(x)}(M_{(x)} \rightarrow P_{(x)}) \wedge \exists  _{(x)} (S_{(x)}\wedge M_{(x)})) \rightarrow \exists _{(x)}(S_{(x)} \wedge P_{(x)}))\)

Tra la prima e la seconda parte della formul troviamo un segno di implicazione, e l’intera formula è preceduta da una negazione.
Applichiamo quindi la regola di riscrittura \(\neg(C\rightarrow D) \leadsto C \wedge \neg D \):

\(  (\forall _x(M_{(x)} \rightarrow P_{(x)}) \wedge \exists  _{(x)} (S_{(x)} \wedge M_{(x)})) \wedge \neg \exists _{(x)}(S_{(x)} \wedge P_{(x)}) )\)

A questo punto, tenendo presente che dobbiamo sempre elaborare prima le parti più esterne alle parentesi, dobbiamo applicare a regola di riscrittura \(\neg \exists _x C \leadsto \forall _x \neg C \):

\(  (\forall _x(M_{(x)} \rightarrow P_{(x)}) \wedge \exists  _{(x)} (S_{(x)} \wedge M_{(x)})) \wedge  \forall _{(x)} \neg(S_{(x)} \wedge P_{(x)}) )\)

Ora applichiamo la regola di riscrittura \(\neg (C \wedge D ) \leadsto \neg C \vee \neg D \):

\(  (\forall _x(M_{(x)} \rightarrow P_{(x)}) \wedge \exists  _{(x)} (S_{(x)} \wedge M_{(x)})) \wedge  \forall _{(x)} (\neg S_{(x)} \vee \neg P_{(x)}) )\)

L’ultimo passo da fare per trasformare la formula in Forma Normale Negativa è applicare la regola di riscrittura  \(C \rightarrow D \leadsto \neg C \vee D \)

\(  (\forall _x(\neg M_{(x)} \vee P_{(x)}) \wedge \exists  _{(x)} (S_{(x)} \wedge M_{(x)})) \wedge  \forall _{(x)} (\neg S_{(x)} \vee \neg P_{(x)}) )\)

A questo punto la formula è stata tradotta in forma normale negativa. Si passa quindi all’applicazione delle regole di espansione

Applicazione delle regole di espansione

La prima regola di espansione da applicare è la regola di congiunzione: \( \frac {\Gamma , B \wedge C }{\Gamma , B, C } \). Applichiamola due volte ottenendo:

\(  \forall _x(\neg M_{(x)} \vee P_{(x)})) , \exists  _{(x)} (S_{(x)} \wedge M_{(x)})) , \forall _{(x)} (\neg S_{(x)} \vee \neg P_{(x)}) \)

Ora, non avendo segni \(\vee \) da risolvere fuori parentesi, la prossima regola da applicare è quella del quantificatore esistenziale \(\exists \):
\(\frac {\Gamma ,  \exists _x B }{\Gamma , B  _{( c/x)}  } \). La formula si trasforma in:

\(  \forall _x(\neg M_{(x)} \vee P_{(x)}) ,  (S_{(a)} \wedge M_{(a)}) , \forall _{(x)} (\neg S_{(x)} \vee \neg P_{(x)}) \)

Come si noterà in base alla regola di espansione utilizzata viene introdotta una costante a.

A questo punto applichiamo la regola di congiunzione:

\(  \forall _x(\neg M_{(x)} \vee P_{(x)}) ,  S_{(a)} , M_{(a)} , \forall _{(x)} (\neg S_{(x)} \vee \neg P_{(x)}) \)

Ora applichiamo la regola del quantificatore universale a \(  \forall _x(\neg M_{(x)} \vee P_{(x)})\):

\(   \forall _x(\neg M_{(x)} \vee P_{(x)}) ,  S_{(a)} , M_{(a)} , \forall _{(x)} (\neg S_{(x)} \vee \neg P_{(x)}) ,\neg M_{(a)} \vee P_{(a)}\)

Quindi applichiamo la regola di disgiunzione ottenendo due ramificazioni:

1) \(   \forall _x(\neg M_{(x)} \vee P_{(x)}) ,  S_{(a)} , M_{(a)} , \forall _{(x)} (\neg S_{(x)} \vee \neg P_{(x)}) ,\neg M_{(a)}\)
2) \(   \forall _x(\neg M_{(x)} \vee P_{(x)}) ,  S_{(a)} , M_{(a)} , \forall _{(x)} (\neg S_{(x)} \vee \neg P_{(x)}) , P_{(a)}\)

La prima ramificazione contiene una contraddizione in quanto contiene sia \(M_{(a)}\) che \(\neg M_{(a)}\). Quindi la ramificazione 1 è contraddetta e si ferma qui.

Vediamo la seconda ramificazione:

Applichiamo la regola per il quantificatore universale a \( \forall _{(x)} (\neg S_{(x)} \vee \neg P_{(x)}) \), ottenendo:

2) \(   \forall _x(\neg M_{(x)} \vee P_{(x)}) ,  S_{(a)} , M_{(a)} , \forall _{(x)} (\neg S_{(x)} \vee \neg P_{(x)}) , P_{(a)}, \neg S_{(a)} \vee \neg P_{(a)}\)

Applichiamo la regola di disgiunzione, ottenendo due rami:

2.1) \(   \forall _x(\neg M_{(x)} \vee P_{(x)}) ,  S_{(a)} , M_{(a)} , \forall _{(x)} (\neg S_{(x)} \vee \neg P_{(x)}) , P_{(a)}, \neg S_{(a)}\)
2.2) \(   \forall _x(\neg M_{(x)} \vee P_{(x)}) ,  S_{(a)} , M_{(a)} , \forall _{(x)} (\neg S_{(x)} \vee \neg P_{(x)}) , P_{(a)},  \neg P_{(a)}\)

 

Il ramo 2.1 contiene la contraddizione \( S_{(a)} , \neg S_{(a)}\), mentre il ramo 2.2 contiene la contraddizione\( P_{(a)},\neg P_{(a)}\), quindi entrambi i rami si chiudono.

Se falsificando la formula iniziale si incorre in contraddizione, la formula iniziale risulterà di conseguenza vera. Abbiamo quindi dimostrato che il sillogismo:

Tutti i ciclisti sono sportivi
Qualche uomo è un ciclista
Qualche uomo è sportivo

è logicamente valido.

Ora vado a fare un giro in bici, prima però vi propongo un semplice tableau da risolvere:

\((\forall _{(x)} (U _{(x)} \rightarrow M_{(x)}) \wedge U_{(s)}) \rightarrow M_{(s)}\)

Buona fortuna!

firmasm

 

 

 

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *