Premessa

Questo articolo parte dalla mia intenzione di sostenere un esame di logica. Ho cercato di essere il più preciso possibile ma tieni conto che sono uno studente e non un esperto di logica.

Il sillogismo

Il sillogismo è un tipo di argomentazione deduttiva teorizzata  da Aristotele. Il termine deriva da syn (insieme) e logos (discorso o ragionamento)

E’ costituito da tre enunciati: due premesse e una conclusione.
Gli enunciati sono costituiti da un soggetto S , un predicato P  e un termine medio M che compare nelle due premesse.

Esempio
M=termine medio=gatto
P=predicato=felino
S=soggetto=Tommy

Tutti i gatti sono felini
Tommy è un gatto
Tommy è un felino

In linguaggio formale questo sillogismo si esprime così:

\(\forall M \subset P\)
\(S \subset M\)

\(S \subset P\)

Dove \(\forall\) significa tutti , \(\subset\) significa è contenuto in, \(\rightarrow\) significa segue che.

I tipi di proposizione

Per il sillogismo sono possibili quattro tipi di proposizione:

• A. Universale affermativa: Tutti gli S sono P    (\(\forall S \subset P\)). Si indica con una A, dal latino Affirmo.
• E. Universale negativa: Nessun S è P    (\(\forall S \not \subset P\)). Si indica con una E, dal latino nEgo.
• I. Particolare affermativa: Qualche S è P    (\(S \supset P\)). Si indica con una I, dal latino affIrmo.
• O. Particolare negativa: Qualche S non è P    (\(S \not \supset P\)). Si indica con una O, dal latino negO.

La manualistica medievale ha individuato i rapporti di verità tra questi quattro tipi di proposizione, schematizzandole nel cosiddetto quadrato delle opposizioni:

• A ed E sono contrarie: possono essere entrambe false, ma non entrambe vere
• I ed O sono rispettivamente  subalterne ad A ed E. Sono vere solo se A ed E lo sono, ma non viceversa.
• A ed O sono contraddittorie
• E ed I sono contradditttorie
• I ed O sono subcontrarie:possono essere entrambe vere ma non entrambe false

 

 

I modi del sillogismo

Le tre proposizioni del sillogismo combinate con i quattro tipi di proposizione danno luogo a \(4^3 =64 \), che moltiplicate per le quattro figure che vedremo danno luogo a 64×4=256 modi di sillogismo.

Alcuni esempi di modi del sillogismo sono AAA (che nel medioevo è chiamato sillogismo Barbara), AII, denominato Darii, ma anche gli altri 62 modi hanno associato un nome latino (Barbari, Celarent, Celaront, Ferio, ecc..).

L’esempio di sillogismo più celebre è di modo dArII (AII) :

Tutti gli uomini sono mortali (A)
Socrate è un uomo (I)
Socrate è mortale (I)

Le figure del sillogismo

Il sillogismo sopra descritto è un sillogismo di prima figura.

Le figure del sillogismo sono quattro e si rappresentano così:

Prima figura:

Nella prima figura il termine medio compare come soggetto nella premessa maggiore e come predicato nella premessa minore.

MP
SM
__
SP

Con M=uomo, S=Mario, P=mortale, possiamo scrivere:

\(\forall M \subset P\)
\(S \subset M\)

\( S \subset P\)

Tutti gli uomini sono mortali
Mario  è un uomo
_
Mario è mortale

Seconda figura:

Nella seconda figura il termine medio compare come predicato in entrambe le premesse:

PM
SM
_
SP

Tutti gli uomini sono animali
Tutte le piante non sono animali
Tutte le piante non sono uomini

\(\forall P \subset M\)
\(\forall S\notin M\)

\( S \notin P\)

Terza figura:

Nella seconda figura il termine medio compare come soggetto in entrambe le premesse:

MP
MS
_
SP

Tutti gli uomini sono animali
Tutti gli uomini sono razionali
Alcuni animali sono razionali

\(\forall M \subset P\)
\(\forall M\subset S\)

\( S \supset P\)

 

Quarta figura:

Nella quarta figura, che è l’inversione della prima, il termine medio compare come soggetto in entrambe le premesse:

SM
MP
_
SP

Tutti gli uomini sono animali
Tutti gli animali sono esseri viventi
Tutti gli uomini sono esseri viventi

\(\forall S \subset M\)
\(\forall M\subset P\)

\( \forall S \subset P\)

Validità dei sillogismi

Sebbene i modi del sillogismo siano, in base al calcolo effettuato sopra, 256, non tutti questi sono validi.

I sillogismo validi sono i seguenti 19:

I figura: AAA, AII, EAE,EIO
II figura: AEE, AOO, EAE, EIO
III figura:AAI, AII, EAO,EIO,IAI,OAO
IV figura: AAI,AEE,IAI,EAO,EIO

Ad essi vanno aggiunti :

I figura: AAI,EAO
II figura: AEO, EAO
IV figura: AEO

Questi ultimi si ottendono per subalternazione.

Nella manualistica medievale fu introdotta una filastrocca utile a ricordare i 19 sillogismi validi:

Barbara, Celarent, Darii, Ferioque,prioris
Cesare, Camestris, Festino, Baroco, secundae
Tertia, Darapti, Disamis, Datisi,Felapton, Bocardo,Ferison, habet
Quarta insuper addit Bramantip, Camenes, Dimaris, Fesapo, Fresison

Ogni strofa corrisponde a una figura, dalla prima alla quarta.

Riconduzione dei sillogismi

E’ possibile ricondurre i sillogismi di secoda, terza e quarta figura a sillogismi di prima figura.

Le regole di riconduzione da utilizzare sono le seguenti:

1. Le iniziali del nome del modo indicano a quale modo di prima figura vanno ricondotti gli altri modi.
   Ad esempio il modo BAROCO, va ricondotto a BARBARA.
2. L’iniziale dell’ultima sillaba del nome della figura da ricondurre indica il metodo di conversione da utilizzare (vale per la seconda strofa):
   i. La consonante C indica che la riconduzione va effettuata per assurdo, facendo vedere che dall’assunzione delle premesse come vere e della conclusione come falsa si ricava una contraddizione.
   ii. La consonante M indica che va effettuata una mutatio praemissarum, effettuando cioè uno scambio di premesse nel quale la premessa maggiore diviene la minore e viceversa.
   iii. La consonante P indica che la conversione va effettuata per accidens. Si tratta di scambiare non solo soggetto e predicato, ma anche la quantità (A ↔ I; E ↔ O) nella proposizione indicata dalla vocale che precede “p”.
   iv. la consonante S indica che va effettuata una conversio simplex, una conversione semplice, che si effettua si tratta di scambiando soggetto e predicato nella proposizione cui corrisponde la vocale precedente alla “s”; è possibile fare questa operazione nei casi in cui il rapporto quantitativo tra S e P è costante
   v. Tutte le altre consonanti non hanno nessun valore

La comprensione e la memorizzazione delle regole di conversione non è immediata, quindi è opportuno fare esempi:

Esempio di Riconduzione

Proviamo utilizzando le regole a ricondurre un sillogismo di modo Baroco (II figura) al corrispondente di prima figura

In base alla regola 1 BAROCO si riconduce a BARBARA, utilizzando il metodo 2.1 della conversione per assurdo.

Partiamo da un sillogismo BAROCO:

(i) Tutti gli uomini sono mortali
(ii) Qualche patriarca non è mortale
(iii) Qualche patriarca non è un uomo

Assumiamo come vere le premesse:

(i) Tutti gli uomini sono mortali
(ii) Qualche patriarca non è mortale

e come falsa la conclusione

(iii) Qualche patriarca non è un uomo

Per le leggi del quadrato aristotelico, se una proposizione contraddittoria non è vera, allora lo sarà la sua contraddittoria. In questo caso abbiamo una conclusione di tipo O, cioè una particolare negativa. Questa va quindi ricondotta a una universale affermativa (A).

(iv) Tutti i patriarchi sono uomini.

Ora, con (i) e (iv), che sappiamo essere vere, elaboriamoun sillogismo di prima figura nel quale quindi il predicato mortale funge da termine medio:

Tutti gli uomini sono mortali
Tutti i patriarchi sono uomini
Tutti i patriarchi sono mortali

Si tratta di un sillogismo valido, perché sappiamo che le premesse sono vere. La conclusione Tutti i patriarchi sono mortali è in contraddizione con la conclusione precedente Qualche patriarca non è mortale quindi, se la conclusione Tutti i patriarchi sono mortali è vera, la conclusione Qualche patriarca non è mortale deve essere falsa.